Степень одночлена
Для одночлена существует понятие его степени. Разберемся, что это такое.
Определение.
Степень одночлена стандартного вида – это сумма показателей степеней всех переменных, входящих в его запись; если в записи одночлена нет переменных, и он отличен от нуля, то его степень считается равной нулю; число нуль считается одночленом, степень которого не определена.
Определение степени одночлена позволяет привести примеры. Степень одночлена a равна единице, так как a это есть a 1 . Степень одночлена 5 есть нуль, так как он отличен от нуля, и его запись не содержит переменных. А произведение 7·a 2 ·x·y 3 ·a 2 является одночленом восьмой степени, так как сумма показателей степеней всех переменных a , x и y равна 2+1+3+2=8 .
Кстати, степень одночлена, записанного не в стандартном виде, равна степени соответствующего одночлена стандартного вида. Для иллюстрации сказанного вычислим степень одночлена 3·x 2 ·y 3 ·x·(−2)·x 5 ·y . Этот одночлен в стандартном виде имеет вид −6·x 8 ·y 4 , его степень равна 8+4=12 . Таким образом, степень исходного одночлена равна 12 .
Коэффициент одночлена
Одночлен в стандартном виде, имеющий в своей записи хотя бы одну переменную, представляет собой произведение с единственным числовым множителем – числовым коэффициентом . Этот коэффициент называют коэффициентом одночлена. Оформим приведенные рассуждения в виде определения.
Определение.
Коэффициент одночлена – это числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде.
Теперь можно привести примеры коэффициентов различных одночленов. Число 5 – это коэффициент одночлена 5·a 3 по определению, аналогично одночлен (−2,3)·x·y·z имеет коэффициент −2,3 .
Отдельного внимания заслуживают коэффициенты одночленов, равные 1 и −1 . Дело здесь в том, что они обычно не присутствуют в записи в явном виде. Считают, что коэффициент одночленов стандартного вида, не имеющих в своей записи числового множителя, равен единице. Например, одночлены a , x·z 3 , a·t·x и т.п. имеют коэффициент 1 , так как a можно рассматривать как 1·a , x·z 3 – как 1·x·z 3 и т.п.
Аналогично, коэффициентом одночленов, записи которых в стандартном виде не имеют числового множителя и начинаются со знака минус, считают минус единицу. К примеру, одночлены −x , −x 3 ·y·z 3 и т.п. имеют коэффициент −1 , так как −x=(−1)·x , −x 3 ·y·z 3 =(−1)·x 3 ·y·z 3 и т.п.
К слову, понятие коэффициента одночлена зачастую относят и к одночленам стандартного вида, представляющим собой числа без буквенных множителей. Коэффициентами таких одночленов-чисел считают эти числа. Так, например, коэффициент одночлена 7 считают равным 7 .
Список литературы.
- Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 17-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 240 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- Мордкович А. Г. Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 17-е изд., доп. - М.: Мнемозина, 2013. - 175 с.: ил. ISBN 978-5-346-02432-3.
- Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.
В этом уроке мы дадим строгое определение одночлена, рассмотрим различные примеры из учебника. Вспомним правила умножения степеней с одинаковыми основаниями. Дадим определение стандартного вида одночлена, коэффициента одночлена и его буквенной части. Рассмотрим два основных типовых действия над одночленами, а именно приведение к стандартному виду и вычисление конкретного численного значения одночлена при заданных значениях входящих в него буквенных переменных. Сформулируем правило приведения одночлена к стандартному виду. Научимся решать типовые задачи с любыми одночленами.
Тема: Одночлены. Арифметические операции над одночленами
Урок: Понятие одночлена. Стандартный вид одночлена
Рассмотри некоторые примеры:
3. 
;
Найдем общие черты для приведенных выражений. Во всех трех случаях выражение является произведением чисел и переменных, возведенных в степень. На основании этого дадим определение одночлена : одночленом называют такое алгебраическое выражение, которое состоит из произведения степеней и чисел.
Теперь приведем примеры выражений, не являющихся одночленами:
Найдем отличие этих выражений от предыдущих. Оно состоит в том, что в примерах 4-7 есть операции сложения, вычитания или деления, тогда как в примерах 1-3, являющихся одночленами, этих операций нет.
Приведем еще несколько примеров:
Выражение под номером 8 является одночленом, так как это произведение степени на число, тогда как пример 9 не является одночленом.
Теперь выясним действия над одночленами .
1.Упрощение. Рассмотрим пример №3 ;и пример №2 /
Во втором примере мы видим только один коэффициент - , каждая переменная встречается только один раз, то есть переменная «а » представлена в единственном экземпляре, как «», аналогично переменные «» и «» встречаются только один раз.
В примере №3 наоборот, есть два различных коэффициента - и , переменную «» мы видим дважды - как «» и как «», аналогично переменная «» встречается два раза. То есть, данное выражение следует упростить, таким образом, приходим к первому действию, выполняемому над одночленами - приведение одночлена к стандартному виду . Для этого приведем к стандартному виду выражение из примера 3, затем определим эту операцию и научимся приводить к стандартному виду любой одночлен.
Итак, рассмотри пример:
Первым действием в операции приведения к стандартному виду всегда нужно перемножить все числовые множители:
;
Результат данного действия будет называться коэффициентом одночлена .
Далее необходимо перемножить степени. Перемножим степени переменной «х » согласно правилу умножения степеней с одинаковыми основаниями, в котором говорится, что при умножении показатели степени складываются:
теперь перемножим степени «у »:
;
Итак, приведем упрощенное выражение:
;
Любой одночлен можно привести к стандартному виду. Сформулируем правило приведения к стандартному виду :
Перемножить все числовые множители;
Поставить полученный коэффициент на первое место;
Перемножить все степени, то есть получить буквенную часть;
То есть, любой одночлен характеризуется коэффициентом и буквенной частью. Забегая вперед, отметим, что одночлены, имеющие одинаковую буквенную часть, называются подобными.
Теперь нужно наработать технику приведения одночленов к стандартному виду . Рассмотри примеры из учебника:
Задание: привести одночлен к стандартному виду, назвать коэффициент и буквенную часть.
Для выполнения задания воспользуемся правилом приведения одночлена к стандартному виду и свойствами степеней.
1. 
;
3. 
;
Комментарии к первому примеру : Для начала определим, действительно ли данное выражение является одночленом, для этого проверим, есть ли в нем операции умножения чисел и степеней и нет ли в нем операций сложения, вычитания или деления. Можем сказать, что данное выражение является одночленом, так как вышеуказанное условие выполняется. Далее, согласно правилу приведения одночлена к стандартному виду, перемножим численные множители:
- мы нашли коэффициент заданного одночлена;
; ; ; то есть, получена буквенная часть выражения:;
запишем ответ: ;
Комментарии ко второму примеру : Следуя правилу выполняем:
1) перемножить числовые множители:
2) перемножить степени:
Переменные и представлены в единственном экземпляре, то есть их перемножить ни с чем нельзя, они переписываются без изменений, степень перемножается:
запишем ответ:
;
В данном примере коэффициент одночлена равен единице, а буквенная часть .
Комментарии к третьему примеру: а налогично предыдущим примерам выполняем действия:
1) перемножить численные множители:
;
2) перемножить степени:
;
выпишем ответ: ;
В данном случае коэффициент одночлена равен «», а буквенная часть 
.
Теперь рассмотрим вторую стандартную операцию над одночленами . Поскольку одночлен это алгебраическое выражение, состоящее из буквенных переменных, которые могут принимать конкретные числовые значения, то мы имеем арифметическое числовое выражение, которое следует вычислить. То есть, следующая операция над многочленами состоит в вычислении их конкретного числового значения .
Рассмотрим пример. Задан одночлен:
данный одночлен уже приведен к стандартному виду, его коэффициент равен единице, а буквенная часть
Ранее мы говорили, что алгебраическое выражение не всегда можно вычислить, то есть переменные, которые в него входят, могут принимать не любое значение. В случае одночлена же входящие в него переменные могут быть любыми, это является особенностью одночлена.
Итак, в заданном примере требуется вычислить значение одночлена при , , , .
В этом уроке мы дадим строгое определение одночлена, рассмотрим различные примеры из учебника. Вспомним правила умножения степеней с одинаковыми основаниями. Дадим определение стандартного вида одночлена, коэффициента одночлена и его буквенной части. Рассмотрим два основных типовых действия над одночленами, а именно приведение к стандартному виду и вычисление конкретного численного значения одночлена при заданных значениях входящих в него буквенных переменных. Сформулируем правило приведения одночлена к стандартному виду. Научимся решать типовые задачи с любыми одночленами.
Тема: Одночлены. Арифметические операции над одночленами
Урок: Понятие одночлена. Стандартный вид одночлена
Рассмотри некоторые примеры:
3. ;
Найдем общие черты для приведенных выражений. Во всех трех случаях выражение является произведением чисел и переменных, возведенных в степень. На основании этого дадим определение одночлена : одночленом называют такое алгебраическое выражение, которое состоит из произведения степеней и чисел.
Теперь приведем примеры выражений, не являющихся одночленами:
Найдем отличие этих выражений от предыдущих. Оно состоит в том, что в примерах 4-7 есть операции сложения, вычитания или деления, тогда как в примерах 1-3, являющихся одночленами, этих операций нет.
Приведем еще несколько примеров:
Выражение под номером 8 является одночленом, так как это произведение степени на число, тогда как пример 9 не является одночленом.
Теперь выясним действия над одночленами .
1.Упрощение. Рассмотрим пример №3 ;и пример №2 /
Во втором примере мы видим только один коэффициент - , каждая переменная встречается только один раз, то есть переменная «а » представлена в единственном экземпляре, как «», аналогично переменные «» и «» встречаются только один раз.
В примере №3 наоборот, есть два различных коэффициента - и , переменную «» мы видим дважды - как «» и как «», аналогично переменная «» встречается два раза. То есть, данное выражение следует упростить, таким образом, приходим к первому действию, выполняемому над одночленами - приведение одночлена к стандартному виду . Для этого приведем к стандартному виду выражение из примера 3, затем определим эту операцию и научимся приводить к стандартному виду любой одночлен.
Итак, рассмотри пример:
Первым действием в операции приведения к стандартному виду всегда нужно перемножить все числовые множители:
;
Результат данного действия будет называться коэффициентом одночлена .
Далее необходимо перемножить степени. Перемножим степени переменной «х » согласно правилу умножения степеней с одинаковыми основаниями, в котором говорится, что при умножении показатели степени складываются:
теперь перемножим степени «у »:
;
Итак, приведем упрощенное выражение:
;
Любой одночлен можно привести к стандартному виду. Сформулируем правило приведения к стандартному виду :
Перемножить все числовые множители;
Поставить полученный коэффициент на первое место;
Перемножить все степени, то есть получить буквенную часть;
То есть, любой одночлен характеризуется коэффициентом и буквенной частью. Забегая вперед, отметим, что одночлены, имеющие одинаковую буквенную часть, называются подобными.
Теперь нужно наработать технику приведения одночленов к стандартному виду . Рассмотри примеры из учебника:
Задание: привести одночлен к стандартному виду, назвать коэффициент и буквенную часть.
Для выполнения задания воспользуемся правилом приведения одночлена к стандартному виду и свойствами степеней.
1. ;
3. ;
Комментарии к первому примеру : Для начала определим, действительно ли данное выражение является одночленом, для этого проверим, есть ли в нем операции умножения чисел и степеней и нет ли в нем операций сложения, вычитания или деления. Можем сказать, что данное выражение является одночленом, так как вышеуказанное условие выполняется. Далее, согласно правилу приведения одночлена к стандартному виду, перемножим численные множители:
- мы нашли коэффициент заданного одночлена;
; ; ; то есть, получена буквенная часть выражения:;
запишем ответ: ;
Комментарии ко второму примеру : Следуя правилу выполняем:
1) перемножить числовые множители:
2) перемножить степени:
Переменные и представлены в единственном экземпляре, то есть их перемножить ни с чем нельзя, они переписываются без изменений, степень перемножается:
запишем ответ:
;
В данном примере коэффициент одночлена равен единице, а буквенная часть .
Комментарии к третьему примеру: а налогично предыдущим примерам выполняем действия:
1) перемножить численные множители:
;
2) перемножить степени:
;
выпишем ответ: ;
В данном случае коэффициент одночлена равен «», а буквенная часть .
Теперь рассмотрим вторую стандартную операцию над одночленами . Поскольку одночлен это алгебраическое выражение, состоящее из буквенных переменных, которые могут принимать конкретные числовые значения, то мы имеем арифметическое числовое выражение, которое следует вычислить. То есть, следующая операция над многочленами состоит в вычислении их конкретного числового значения .
Рассмотрим пример. Задан одночлен:
данный одночлен уже приведен к стандартному виду, его коэффициент равен единице, а буквенная часть
Ранее мы говорили, что алгебраическое выражение не всегда можно вычислить, то есть переменные, которые в него входят, могут принимать не любое значение. В случае одночлена же входящие в него переменные могут быть любыми, это является особенностью одночлена.
Итак, в заданном примере требуется вычислить значение одночлена при , , , .
Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Тип урока: интегрированный (с ИКТ), урок введения новых знаний.
Цели и задачи (алгебра): ввести понятие одночлена; степень одночлена; стандартный вид одночлена. Научить учащихся приводить одночлены к стандартному виду. Продолжить формирование навыков выполнения действий со степенями. Совершенствовать вычислительные навыки учащихся. Развивать внимательность, аккуратность.
Цели и задачи (ИКТ): научить использовать в практической деятельности встроенный редактор формул в MS Office Word; развивать навык самостоятельной работы.
Материалы, используемые на уроке: презентация, компьютерный класс с установленным пакетом MS Office (Word), опорный конспект практической работы, карточки с заданием для самостоятельной работы, мультимедиа установка.
Ход урока
I. Организационный момент .
Приветствие учащихся.
II. Устные упражнения.
(слайд на экране2).
- Представить в виде степени: y 3 *y 2 ; (y 3) 5 ; y 7 *y 3 ; (y 7) 4 ; а 10 /а 8 .
- Каким числом (положительным или отрицательным) является значение выражения: (-8) 10 ; (-5) 27 ; 7 5 ; -2 8 ; -(-1) 7 .
- Вычислите: (3*2) 2 -3*2 2 ; (-3) 8 /3 7 .
III. Изучение нового материала.
Сообщение темы урока и целей и задач урока (слайд 3,4).
6*x 2 *у; 2*x 3 ; mn 7 ; ab; -8 (слайд 5)
- Прочитайте выражения, записанные на доске.
- Что собой представляют эти выражения?
Выражения такого вида называются одночленами.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Одночлен – это произведение чисел и переменных, степеней переменных либо число, переменная, степень переменной.
Посмотрите внимательно на экран (слайд 7). Какие из следующих выражений являются одночленами? Почему?
IV. Закрепление нового материала.
№463 – самостоятельно. Проверка фронтальная. (Слайд 8).
V. Изучение нового материала.
Пусть у меня есть одночлены
2х 2 у*9y 2 и 8х*9ху (слайд 9)
Воспользуемся переместительным и сочетательным законами умножения. Получим:
2*9*х 2 *у*y 2 =18х 2 y 3 и 8*9*х*х*у=72х 2 у.
- Что мы получили?
- Что собой представляет?
Мы представили одночлен в виде произведения числового множителя, стоящего на первом месте и степеней различных переменных. Такой вид одночлена называется стандартным видом.
- Какой же одночлен называется одночленом стандартного вида?
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: одночлен называется одночленом стандартного вида, если имеет 1 числовой множитель, стоящий на первом месте (коэффициент), произведение одинаковых переменных в нем записано в виде степени.
Прочитайте те одночлены, которые записаны в стандартном виде. Назовите их коэффициенты.
VI. Закрепление нового материала.
№464 – устно, №465 – под руководством учителя.
VII. Задание, выполняемое на компьютере (практическая работа).
Программа MS Word. Встроенный редактор формул. Использование встроенного редактора формул для записи одночленов. Файл «Стандартный вид одночлена» на рабочем столе. Заполните подготовленную таблицу, используя встроенный редактор формул.
Заполните таблицу. (Слайд 15)
Проверка – на экране (слайд 16) и сохраненные файлы учащихся.
VIII. Изучение нового материала.
- Что записано на доске?
- Назовите показатель степени переменной Х?
- Назовите показатель степени переменной Y?
- Найдите сумму показателей степеней. Это число называется степенью одночлена.
На странице 84 учебника найдите определение степени одночлена. Прочитайте его.
IX. Закрепление нового материала .
№ 473 – устно;
№ 467(а; г) – комментировано у доски.
X. Самостоятельная работа .
На экране по вариантам (слайд 19). (У каждого учащегося на парте листок с заданием для выполнения работы – Приложение 2 )
Проверка – самопроверка с записью (на экране слайд 20).
XI. Подведение итогов.
- Что же такое одночлен?
- Одночлен, какого вида называют стандартным одночленом?
- Что называется степенью одночлена?
XII. Домашнее задание.
П.19, №466, 468, 476, 470.
Спасибо за урок! (слайд 23)
Список использованной литературы:
- Алгебра. 7 класс: учебник для общеобразовательных учреждений / [Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова]; под ред. С.А. Теляковского. - М.: Просвещение, 2007.
Понятие одночлена
Определение одночлена: одночлен - это алгебраическое выражение, в котором используется только умножение.
Стандартный вид одночлена
Что такое стандартный вид одночлена? Одночлен записан в стандартном виде, если в нём на первом месте стоит числовой множитель и этот множитель, его называют коэффициентом одночлена, только один в одночлене, буквы одночлена расположены в алфавитном порядке и каждая буква встречается только один раз.
Пример одночлена в стандартном виде:
здесь на первом месте число, коэффициент одночлена, и это число только одно в нашем одночлене, каждая буква встречается только один раз и буквы расположены в алфавитном порядке, в данном случае это латинский алфавит.
Ещё пример одночлена в стандартном виде:
каждая буква встречается лишь однажды, расположены они в латинском алфавитном порядке, но где коэффициент одночлена, т.е. числовой множитель, который должен стоять на первом месте? Он здесь равен единице: 1adm.
Коэффициент одночлена может быть отрицательным? Да, может, пример: -5a.
Коэффициент одночлена может быть дробным? Да, может, пример: 5,2a.
Если одночлен состоит только из числа, т.е. не имеет букв, как привести его к стандартному виду? Любой одночлен, представляющий собой число, уже находится в стандартном виде, пример: число 5 - это одночлен стандартного вида.
Приведение одночленов к стандартному виду
Как привести одночлен к стандартному виду? Рассмотрим примеры.
Пусть дан одночлен 2a4b, нужно привести его к стандартному виду. Перемножаем два его числовых множителя и получаем 8ab. Теперь одночлен записан в стандартном виде, т.е. имеет только один числовой множитель, записанный на первом месте, каждая бува в одночлене встречается только один раз и расположены эти буквы в алфавитном порядке. Итак, 2a4b = 8ab.
Дано: одночлен 2a4a, привести одночлен к стандартному виду. Перемножаем числа 2 и 4, произведение aa заменяем второй степенью a 2 . Получаем: 8a 2 . Это стандартный вид данного одночлена. Итак, 2a4a = 8a 2 .
Подобные одночлены
Что такое подобные одночлены? Если одночлены различаются только лишь коэффициентами или равны, то они называются подобными.
Пример подобных одночленов: 5a и 2a. Эти одночлены различаются только коэффициентами, значит они подобны.
Подобны ли одночлены 5abc и 10cba? Приведем к стандартному виду второй одночлен, получим 10abc. Теперь видно, что одночлены 5abc и 10abc отличаются только своими коэффициентами, а это означает, что они подобны.
Сложение одночленов
Чему равна сумма одночленов? Суммировать мы можем только подобные одночлены. Рассмотрим пример сложения одночленов. Чему равна сумма одночленов 5a и 2a? Суммой этих одночленов будет одночлен, подобный им, коэффициент которого равен сумме коэффициентов слагаемых. Итак, сумма одночленов равна 5a + 2a = 7a.
Ещё примеры сложения одночленов:
2a 2 + 3a 2 = 5a 2
2a 2 b 3 c 4 + 3a 2 b 3 c 4 = 5a 2 b 3 c 4
Ещё раз. Складывать можно только подобные одночлены, сложение сводится к сложению их коэффициентов.
Вычитание одночленов
Чему равна разность одночленов? Вычитать мы можем только подобные одночлены. Рассмотрим пример вычитания одночленов. Чему равна разность одночленов 5a и 2a? Разностью этих одночленов будет одночлен, подобный им, коэффициент которого равен разности коэффициентов данных одночленов. Итак, разность одночленов равна 5a - 2a = 3a.
Ещё примеры вычитания одночленов:
10a 2 - 3a 2 = 7a 2
5a 2 b 3 c 4 - 3a 2 b 3 c 4 = 2a 2 b 3 c 4
Умножение одночленов
Чему равно произведение одночленов? Рассмотрим пример:
т.е. произведение одночленов равно одночлену, множители которого составлены из множителей исходных одночленов.
Ещё пример:
2a 2 b 3 * a 5 b 9 = 2a 7 b 12 .
Как получился такой результат? В каждом сомножителе имеется «а» в степени: в первом - «а» в степени 2, а во втором - «а» в степени 5. Значит в произведении будет «а» в степени 7, ведь при умножении одинаковых букв показатели их степеней складываются:
A 2 * a 5 = a 7 .
Это же относится и к сомножителю «b».
Коэффициент первого сомножителя равен двум, а второго - одному, поэтому получаем в результате 2 * 1 = 2.
Вот так посчитался результат 2a 7 b 12 .
Из этих примеров видно, что коэффициенты одночленов перемножаются, а одинаковые буквы заменяются суммами их степеней в произведении.